球體表面積

球體表面積

球體表面積公式 S(球面)=4πr^2,球體表面積是指球面所圍成的幾何體的面積,它包括球面和球面所圍成的空間。

公式證明

√表示根號

把一個半徑為R的球的上半球橫向切成n(無窮大)份, 每份等高

並且把每份看成一個類似圓台,其中半徑等於該類似圓台頂面圓半徑

球體表面積球體表面積

則從下到上第k個類似圓台的側面積

S(k)=2πr(k)×h

其中r(k)=√[R^2-﹙kh)^2],

h=R^2/{n√[R^2-﹙kh)^2}.

S(k)=2πr(k)h=(2πR^2)/n則 S=S(1)+S(2)+……+S(n)= 2πR^2;

乘以2就是整個球的表面積 4πR^2;

球體表面積球體表面積

可以把半徑為R的球看成像洋蔥一樣分成n層,每層厚為

=

,設第k層與球心的距離為r=r(k)=k

,面積為一個關於r(k)的函式設為S(r),則k層的體積V(k)=S(r)*

,所以V=

V(k)=

S(k

)*

=

S(r)*Δr=

,也就是V(r)=

,有可以知道V(r)=4/3πr^3,所以同時求導就可得S(r)=4πr^2,